精密絲杠加工誤差數學模型分析
1 引言
精密絲杠是精密機床、數控機床及其它精密機械與儀器的重要傳動裝置。為起到將旋轉運動轉換為直線運動的傳動作用，對精密絲杠的精度、剛度、耐磨性等均提出了較高要求。為減小殘余應力的影響，絲杠毛坯須經球化退火處理，以獲得穩定的球狀珠光體組織；為提高絲杠加工系統剛度，需采用高同軸度的跟刀架或導套等輔助支承。引起絲杠加工誤差的主要影響因素為熱變形和殘余應力。目前通常采用冷卻降溫法或熱變形補償法來提高絲杠加工精度。冷卻降溫法是通過直接降低精密絲杠的加工溫度以減小熱變形量；熱變形補償法則是通過建立絲杠加工時的熱變形數學模型或根據檢測加工結果由補償裝置對絲杠進行誤差補償。采用數學建模與實際檢測相結合的方法進行誤差補償對于提高絲杠加工精度效果較好。精密絲杠的熱變形主要源于砂輪磨削加工產生的環狀移動熱源在絲杠上產生溫度分布引起的熱膨脹，因此在熱變形數學建模中需考慮的因素有：磨削熱形成的熱源特征、熱源的移動性、熱量沿桿件的傳導特征、熱量的散熱特征等。此外，加工后的殘余應力對絲杠尺寸的影響也不容忽視。
2 精密絲杠溫度分布數學模型的建立
數學建模時，首先需對精密絲杠作如下假設：①絲杠材料具有彈性、連續、均勻、各向同性的特性，且絲杠內無初應力（已經過時效處理）；②絲杠螺紋部分的尺寸與絲杠直徑相比很小，其對絲杠內部熱傳導的影響可忽略不計，即絲杠可簡化為圓柱體；③絲杠兩端絕熱。磨削加工絲杠時所產生的磨削熱約有60%～95%被傳入被磨絲杠中。由于磨削速度*，熱量瞬間聚集在絲杠表面形成局部高溫，隨著砂輪沿絲杠軸向進給，熱量向絲杠兩端及內部傳導，同時與絲杠表面的冷卻介質發生對流換熱。因此，絲杠磨削加工時的熱量傳播方式主要包括磨削表面所需表面能、殘留于表面和磨屑中的應變能、砂輪的溫升、絲杠內部的熱傳導、絲杠與冷卻介質的對流換熱等。傳入絲杠內部熱量的主要傳播方式為絲杠內部熱傳導和絲杠表面與冷卻介質的對流換熱。 磨削絲杠時，可將砂輪視為環狀移動面熱源，其在柱狀工件內的熱量傳播方式。根據Fourier熱傳導基本定律，可求解此環狀移動熱源所引起的絲杠各點位置溫度。絲杠內部熱傳導可按非穩態溫度場的柱坐標基本微分方程求解，即
| （3） |
式中：T——絲杠各點溫度
| T|τ=0=T0（r,z） | （2） | |||||
| （3） |
| （4） |
| （5） |
由式（1）解析算法計算絲杠各點溫度值非常繁瑣，故通常采用數值算法進行近似計算。
上述計算方法建立在式（1）基礎上，式（1）的導熱微分方程是能量守恒定律的一種數學表達，但它僅考慮熱量在固體內部傳導時的能量守恒狀態，并未包括對流換熱、輻射等其它熱傳播方式引起的能量分布狀況。因此，當考慮對流換熱、輻射等熱傳播方式時，應將其影響作為初始邊界條件對導熱微分方程的解進行校正，如式（2）、（3）。式（3）中第三類邊界條件包含絲杠表面溫度Tω，其值需通過理論計算進行預測，在實際加工中不易獲知。式（3）中的Tω是針對特定的絲杠及環境條件通過實驗測得的，計算出的理論預測解也只有在這些特定條件下才成立，而實際加工中絲杠的種類、材料、尺寸精度等均不相同。此外，因式（5）計算過程復雜，通常采用數值逼近的近似算法，這也限制了它在生產上的應用。本文基于能量守恒定律，考慮了對流換熱等不同熱傳播方式的影響，提出一種更為簡便的解析計算方法。由于絲杠的直徑/長度比較小，故可將計算模型看作求解面熱源在柱狀工件中引起的溫度分布。以dx
| 微元體為研究對象，左端單位面積、單位時間內輸入的熱量為qx，右端輸出熱量為 | qx | dx+qx，即 |
| dx |
| dQout=πr2（qx+ | dqx | dx） |
| Est=ρc | dT | dv=ρc | dT | πr2dx |
| dt | dt |
| ρc | ∂T | ——絲杠單位容積的內能隨時間的變化速率 |
| ∂t |
當砂輪磨削絲杠一段時間后，絲杠內部熱量處于相對平衡狀態，此時的熱變形量相對穩定，dT/dt≈0，故微元體內部存能項Est≈0。設絲杠冷卻介質溫度為T0，發熱系數為λ，則dx段從表面散失的熱量為
| d2 | = | 2λ | （T-T0） |
| dx2 | kr |
| T=T0+ce |
|
| （8） |
| 1 | δQ=2πrα | ∫ | ∞ | （T-T0）dx |
| 2 | 0 |
將式（8）代入上式，可得
| D= | δQ | 1 | ||
| 2πr |
|
| （9） |
| （10） |
3 精密絲杠熱變形數學模型的建立
設絲杠的平均線熱膨脹系數為α。當面熱源位于絲杠某位置時，絲杠處于熱平衡狀態，此時絲杠內所含熱量對于該持續熱源來說處于飽和狀態。當該熱源移動至另一新位置時，絲杠各點熱量將重新分配，因熱源穩定提供一定熱量，故絲杠內部所含熱量始終相等。由式
可得
可知，當絲杠中的熱量相等時，無論熱量如何分布，絲杠的溫度總和仍相同。若持續熱源位于絲杠的不同位置，在絲杠上將產生不同的溫度分布函數f1（x），f2（x）且
由此可知，當采用平均線膨脹系數進行計算時，移動熱源在任何位置引起的絲杠熱膨脹量均相同，因此可用固定熱源代替移動熱源，從而可簡化計算而不會影響計算精度。絲杠dx段的溫度為T-T0，該段的熱變形量為
| （11） |
4 殘余應力對精密絲杠尺寸的影響
（1）殘余應力引起的絲杠尺寸變化
殘余應力對精密絲杠尺寸的影響在工程應用中長期被忽略，主要原因是這一影響在加工完畢后不易立即發現，而是表現為較長時期的緩慢作用。絲杠經較長時間使用后，相當于進行了自然時效處理，絲杠中的殘余應力逐漸釋放和減小，絲杠尺寸也會隨之發生變化，甚至可能引起較大變形。
假定絲杠為*彈性體；絲杠的切向殘余應力為σθ，軸向殘余應力為σz，徑向殘余應力為σr；加工后絲杠的標準尺寸為半徑r0，長度L0；經自然時效處理后，絲杠的半徑和長度分別由r0、L0變為r、L。可將絲杠看作尺寸為r的長軸在應力σθ、σz和σr作用下變形至r0和L0的平衡狀態。當施加相反應力-σθ、-σz和-σr時，因工件為*彈性體，故絲杠應由r0和L0返回加工后的原狀態。
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（2）計算實例
已知：精密絲杠長度L=1600mm，直徑r=60mm，彈性模量E=21×104MPa，泊松比µ=0.26，磨削后的殘余應力分布。橫坐標h表示距表面深度（mm），縱坐標σ表示殘余應力（MPa），實線表示軸向應力，虛線表示切向應力。
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5 結語
在精密絲杠的磨削加工中，磨削熱是引起絲杠加工誤差的主要影響因素。絲杠熱變形的計算通常需要根據實際加工情況建立溫度分布數學模型，但實際加工情況的復雜性（如持續放熱移動熱源）增加了數學建模難度。而基于能量守恒定律，采用平均線膨脹系數進行計算，則只需考慮熱量含量相同的任一溫度分布狀況的熱變形計算，可在保持原有精度的前提下大大簡化數學模型，使絲杠熱變形的計算變得簡潔、方便，因此在實際工程應用中具有較高實用價值。
在精密絲杠使用一段時間后，因殘余應力釋放引起的絲杠變形誤差也不容忽視，為此必須對磨削加工引起的殘余應力分布狀況進行計算，并據此進行誤差補償。目前對磨削殘余應力的研究多集中于對實驗數據的分析，而從理論上確定磨削加工殘余應力分布狀況則是今后需要深入研究且具有應用價值的工作。
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