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為了更好地對關節空間軌跡規劃和工作空間軌跡規劃擬合曲線進行分析，對兩種軌 跡規劃方法得到的Delta機器人工作空間整體擬合曲線進行對比如圖3-19所示，紅色實 線和綠色虛線分別表示工作空間和關節空間軌跡規劃得到的工作空間擬合曲線，圖（a) 為工作空間內的整體位移曲線圖，圖（b)為末端執行器水平轉運階段位移曲線放大圖，由圖可知，利用關節空間軌跡規劃方法得到的擬合曲線在水平轉運階段y軸方向的抖動大約為9mm，抖動的主要原因有兩方面：第一，在關節空間軌跡規劃中，對拐彎半徑控 制點進行調整，以減小Delta機器人末端執行器抓取和釋放物體的豎直運行階段x軸方 向的抖動，但是，增加了水平轉運階段y軸方向的抖動；第二，在關節空間軌跡規劃中， 選取的工作空間關鍵點不對稱。圖（c)、（d)為Delta機器人末端執行器抓取和釋放物 體的豎直運行階段放大圖，由圖可知，關節空間軌跡規劃方法得到的擬合曲線在x軸方 向分別有0.6mm、0.8mm的輕微抖動。工作空間軌跡規劃方法得到的擬合曲線在X、j 軸方向沒有抖動，結合圖3-12和3-16可知，利用工作空間軌跡規劃方法得到的工作空 間擬合曲線明顯好于利用關節空間軌跡規劃方法得到的工作空間擬合曲線。

對擬合曲線圖3-11和3-17進行對比，可知關節空間內軌跡規劃得到的關節空間擬合曲線和工作空間軌跡規劃得到的關節空間擬合曲線速度、加速度峰值相差不大，但由 關節空間軌跡規劃得到的擬合曲線均連續可導，工作空間軌跡規劃得到的擬合曲線連續 但不可導。

對擬合曲線圖3-12和3-16進行對比，可知關節空間軌跡規劃得到的工作空間擬合 曲線x軸方向的速度峰值小于工作空間軌跡規劃得到的擬合曲線x軸方向的速度峰值， 而軸方向的速度峰值相差不大，即末端執行器在中間轉運階段速度峰值相差較大，在 抓取和釋放物體的豎直運行階段速度峰值相差不大。

對擬合曲線圖3-13和3-18進行對比，可知關節空間軌跡規劃得到的力矩擬合曲線 和工作空間軌跡規劃得到的力矩擬合曲線峰值相近，但工作空間軌跡規劃得到擬合曲線 的功率峰值明顯大于關節空間軌跡規劃得到擬合曲線的功率峰值，尤其是在末端執行器 的中間轉運階段，功率相差較大。

總結發現，在末端執行器的豎直運行階段，從末端執行器水平方向是否抖動、3^由 方向速度峰值大小、驅動電機力矩峰值大小和功率峰值大小等方面考慮，工作空間軌跡 規劃得到的擬合曲線明顯好于關節空間軌跡規劃得到的擬合曲線；在末端執行器的中間 轉運階段，從末端執行器x方向的速度峰值大小、驅動電機力矩峰值大小和功率峰值大 小等方面考慮，關節空間軌跡規劃得到的擬合曲線明顯好于工作空間軌跡規劃得到的擬 合曲線。

基于以上Delta機器人的軌跡規劃結論，提出了關節空間和工作空間相結合的混合 軌跡規劃方法，在末端執行器的豎直運行階段采用工作空間軌跡規劃法，并進行相應的 動力學優化；在末端執行器的中間轉運階段采用關節空間軌跡規劃法，并進行相應的動 力學優化。

3.6.1工作空間關鍵點的選取

利用混合軌跡規劃法對Delta機器人進行軌跡規劃，也需要在工作空間中選取相應 的工作空間關鍵點，其工作空間關鍵點如圖3-20所示。其中01、78黑色曲線段為抓取 和釋放物體的豎直運行階段，為了避免水平方向的抖動，使用工作空間軌跡規劃法進行 軌跡規劃；其余藍色曲線段使用關節空間軌跡規劃法進行軌跡規劃，以提高機器人的控 制性能，關鍵點2、6為拐彎半徑控制點。

3.6.2混合軌跡規劃五次樣條函數模型

混合軌跡規劃五次樣條函數模型是關節空間和工作空間軌跡規劃相結合的數學模 型，工作空間軌跡規劃曲線段01、78段使用工作空間軌跡規劃數學模型，如公式（3- 3)、（3-4)、（3-5)所示；其余關節空間軌跡規劃曲線段使用關節空間軌跡規劃數學模型， 如公式（3-6)至（3-11)所示。值得注意的是，選取的工作空間關鍵點1、7是工作空 間軌跡規劃法和關節空間軌跡規劃法的銜接關鍵點，該關鍵點的位移是確定值，速度、 加速度需要人為給定，關鍵點處的速度和加速度選擇是否合理關系到該點兩側速度變化 曲率和加速度變化數值大小，這里僅以關節空間左驅動電機擬合曲線為例進行說明。

當速度選擇不合理時，該關鍵點（0.2s附近，藍、紅色曲線銜接處）成為速度擬合 曲線的尖點（曲線上明顯突出的點），并且該關鍵點附近加速度很大，如圖3-21、3-22所 示，分別為關鍵點處速度選擇較小、較大時關節空間左驅動電機速度、加速度擬合曲線。

當加速度選擇不合理時，該關鍵點成為速度曲線的曲率變化關鍵點，并且該關鍵點 處的加速度出現尖點，如圖3-23、3-24所示，分別為關鍵點處加速度選擇較小、較大時 的關節空間左驅動電機速度、加速度擬合曲線。

當關鍵點處的速度、加速度選擇不合理時，還會出現工作空間位移擬合曲線過沖, 速度擬合曲線抖動較大，加速度擬合曲線峰值較大，所需驅動電機力矩峰值和功率峰值 急劇增加的現象，這里不再贅述。

3.6.3動力學軌跡優化模型

混合軌跡規劃的動力學優化模型，結合了工作空間軌跡規劃和關節空間軌跡規劃的 動力學優化模型，在工作空間軌跡規劃曲線段01、78段使用工作空間動力學軌跡優化 數學模型，如公式（3-15)、（3-16)、（3-17)所示；其余關節空間軌跡規劃曲線段使用關 節空間動力學軌跡優化數學模型，如公式（3-12)、（3-13)、（3-14)所示。

Delta機器人混合空間軌跡規劃流程如圖3-25所示，其中判斷1為選取的工作空間 關鍵點處速度、加速度是否合理，即關節空間中擬合曲線，位移是否過沖，速度是否為 尖點，加速度是否很大或者為尖點，以及所需驅動電機力矩峰值和功率峰值是否較大。 判斷2、3與工作空間軌跡規劃流程圖3-15中判斷1、2相同；判斷4、5與關節空間軌跡規劃流程圖3-10中判斷1、2相同。

3.6.4軌跡規劃曲線分析

根據Delta機器人關節空間和工作空間的混合軌跡規劃五次樣條函數模型及其動力 學優化模型，編寫機器人的Python語言混合空間軌跡規劃程序，得到的擬合曲線如圖3- 26, 3-27, 3-28所示，其中，左右紅色、綠色曲線為關節空間軌跡規劃得到的擬合曲線， 左右藍色、黑色曲線為工作空間軌跡規劃得到的擬合曲線。

圖3-26為混和軌跡規劃法得到的關節空間左右驅動關節運動學擬合曲線，由上至 下分別表示驅動關節角位移、速度、加速度，由圖可以看出，關節空間內的位移、速度 擬合曲線均連續可導，加速度擬合曲線連續但不可導。左右驅動關節速度大小均小于8 rad/s,加速度峰值大小分別小于200rad/?、150rad//。

圖3-27為混合軌跡規劃法得到的工作空間內末端執行器x軸方向和y軸方向擬合 曲線，由上至下分別表示末端執行器的位移、速度、加速度擬合曲線，由圖可以看出， 利用以上混合軌跡規劃五次樣條函數模型及其動力學優化模型，得到的工作空間內末端 執行器的位移、速度擬合曲線均連續可導，加速度擬合曲線連續但不可導，擬合曲線x 軸方向和y軸方向速度峰值大小約為3m/s，加速度峰值大小為60m//，得到的工作 空間內的x、y軸方向速度、加速度擬合曲線的峰值相差較小。

圖3-27末端執行器擬合曲線

圖3-28為混合軌跡規劃法動力學優化后得到的關節空間內驅動電機力矩和功率擬 合曲線，由圖可知，左右驅動關節力矩擬合曲線和功率擬合曲線均連續但不可導，左驅動關節力矩擬合曲線大小小于80，m,右驅動關節力矩擬合曲線大小小于等于90，m, 左右關節驅動力矩有一■定差距；同樣，左右驅動電機的功率擬合曲線為取值后的擬 合曲線，左驅動關節功率擬合曲線大小小于400vv,右驅動關節功率擬合曲線大小小于 550vv,左右關節驅動功率大小相差較大。